北理工在有限一般線性群代數(shù)的中心的穩(wěn)定性方面取得研究成果
發(fā)布日期：2019-06-03 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
編輯：吳一凡 審核：衡靖 閱讀次數(shù)：日前,，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院萬(wàn)金奎教授在國(guó)際頂級(jí)學(xué)術(shù)期刊《Advances in Mathematics》上發(fā)表題為“Stability of the centers of group algebras of GL_n(q)”的研究論文。該論文研究了有限域F q上的一般線性群（general linear group）GL_n(q)在整數(shù)環(huán)上的群代數(shù)的中心,，首先證明了這些中心子代數(shù)均帶有一個(gè)自然濾過(guò)（filtration）,，并進(jìn)一步證明了這些濾過(guò)誘導(dǎo)的分次代數(shù)的結(jié)構(gòu)常數(shù)是不依賴(lài)于n的常數(shù)，即論文題目所指的穩(wěn)定性,。
有限域上一般線性群也稱(chēng)為了A型李型有限群,，而李型有限群最初在有限單群的分類(lèi)中扮演著重要的角色。同時(shí),，它們與代數(shù)群,、Hecke代數(shù)有著密切的聯(lián)系，在現(xiàn)代李理論和表示理論中占據(jù)重要的地位,。例如,，A型Hecke代數(shù)可以看作為A型李型有限群的一個(gè)特殊表示的自同態(tài)代數(shù)。 李型有限群的表示理論是一個(gè)歷史久遠(yuǎn)且對(duì)表示理論其他分支有著深刻影響的研究方向,。 在表示論領(lǐng)域,，國(guó)際上一大批知名學(xué)者的研究工作均集中在該研究分支，其中學(xué)者們感興趣的最核心的研究問(wèn)題是不可約表示和特征標(biāo)的分類(lèi)以及刻畫(huà),。
研究一個(gè)有限群的不可約表示,，首先要解決的問(wèn)題是該有限群的共軛類(lèi)，而共軛類(lèi)中所有元素的和給出了該群的群代數(shù)的中心的一組基,。由此可見(jiàn),，研究一個(gè)有限群的群代數(shù)的中心對(duì)研究該群的表示理論有著重要的意義。例如,，F(xiàn)arahat-Higman最早在研究對(duì)稱(chēng)群的中心時(shí)給出了共軛類(lèi)和對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)常數(shù)的具體刻畫(huà),，該結(jié)果對(duì)對(duì)稱(chēng)群的模表示理論中的p-block的刻畫(huà)起著關(guān)鍵性的作用,。同時(shí)，學(xué)者們也建立了Farahat-Higman的研究結(jié)果在Hilbert概型中的應(yīng)用,。 對(duì)于有限域上一般線性群GL_n(q), 一個(gè)可逆矩陣唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)由系數(shù)在F_q上除了多項(xiàng)式t之外的 首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式f(t)參數(shù)化的一個(gè)n的多重劃分,，而兩個(gè)可逆矩陣共軛當(dāng)且僅它們對(duì)應(yīng)著同一個(gè)多重劃分。因此GL_n(q)的共軛類(lèi)的個(gè)數(shù)等于這些特定的多重劃分的個(gè)數(shù),。如前所述,，所有共軛類(lèi)和給出了GL_n(q)在整數(shù)環(huán)上的環(huán)代數(shù)的中心的一組基，值得關(guān)心的問(wèn)題是這些基元素相應(yīng)的結(jié)構(gòu)常數(shù)跟n的依賴(lài)關(guān)系,。 在GL_n(q)的情形,，首先GL_n(q)可以自然地看作為GL_{n+1}(q)的子群且GL_n(q)的一個(gè)共軛類(lèi)包含在GL_{n+1}(q)的共軛類(lèi)中 。 同時(shí),，每個(gè)F_q上的n階可逆矩陣均為一些初等矩陣的乘積,，從而可以定義一個(gè)可逆矩陣的長(zhǎng)度，而該長(zhǎng)度自然給出了整數(shù)環(huán)上的群代數(shù)Z GL_n(q)的中心的一個(gè)濾過(guò),。萬(wàn)金奎教授和合作者通過(guò)引入modified多重劃分給出了所有GL_n(q)的共軛類(lèi)的不依賴(lài)于n的刻畫(huà),，并證明了由上述濾過(guò)誘導(dǎo)的Z GL_n(q)的中心的分次代數(shù)的結(jié)構(gòu)常數(shù)是不依賴(lài)于n的整數(shù)，即乘積保持長(zhǎng)度的那些共軛類(lèi)對(duì)應(yīng)的常數(shù)與n無(wú)關(guān),。同時(shí),，利用軟件Sage給出的大量計(jì)算顯示不保持長(zhǎng)度的那些結(jié)構(gòu)常數(shù)與q^n呈多項(xiàng)式的依賴(lài)關(guān)系，對(duì)此萬(wàn)金奎教授和合作者在上述論文中給出了相關(guān)猜想,。
這一原創(chuàng)性研究成果進(jìn)一步增進(jìn)了學(xué)者們對(duì)于GL_n(q)的中心的理解,，為研究GL_n(q)的模表示理論和asymtotic表示理論奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)有望在幾何表示論中找到應(yīng)用,。值得指出的是,，萬(wàn)金奎教授已在后續(xù)的研究中將上述研究成果應(yīng)用在有限域上的仿射群，辛群和酉群中,，類(lèi)似地分別建立這些有限群的群代數(shù)中心的穩(wěn)定性,。
這項(xiàng)研究工作是由萬(wàn)金奎教授與美國(guó)弗吉尼亞大學(xué)Weiqiang Wang教授（Fellow of American Mathematical Society）合作完成，萬(wàn)金奎教授為通訊作者,，本項(xiàng)工作得到國(guó)家自然科學(xué)基金和國(guó)家留學(xué)基金委的資助,。
論文鏈接地址：https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.04.026
附研究團(tuán)隊(duì)及個(gè)人簡(jiǎn)介：
北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊(duì)積極開(kāi)展國(guó)際合作研究和學(xué)術(shù)交流，團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)人胡峻教授以及團(tuán)隊(duì)成員魏豐教授,、萬(wàn)金奎教授,、張杰副教授,、謝迅博士等分別與澳大利亞悉尼大學(xué)Andrew Mathas教授（Fellow of Australian Mathematical Society）,、巴西Universidade Federal do ABC大學(xué)Ivan Kaygorodov教授、美國(guó)弗吉尼亞大學(xué)Weiqiang Wang教授,、加拿大Sherbrooke大學(xué)Thomas Brüstle教授,、悉尼大學(xué)Geordie Williamson教授（2018ICM一小時(shí)報(bào)告人）等建立了長(zhǎng)期的合作關(guān)系,。最近，代數(shù)團(tuán)隊(duì)又引進(jìn)了一名曾在悉尼大學(xué)工作的德裔博士,。團(tuán)隊(duì)成員分別開(kāi)展著表示論與李理論,、代數(shù)組合、簇代數(shù)的交叉研究,，表現(xiàn)出強(qiáng)勁的發(fā)展勢(shì)頭,。
萬(wàn)金奎，教授,，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊(duì)主要成員,。本科畢業(yè)于北京師范大學(xué)、博士畢業(yè)于美國(guó)弗吉尼亞大學(xué),，曾在澳大利亞新南威爾士大學(xué)和美國(guó)弗吉尼亞大學(xué)作訪問(wèn)學(xué)者,。長(zhǎng)期從事量子群、Hecke代數(shù),、李代數(shù)的表示理論以及相關(guān)的代數(shù)組合理論的研究工作,，主持國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目、青年項(xiàng)目,。以通訊作者在Advances in Mathematics,、Proceedings of the London Mathematical Society、Transactions of the American Mathematical Society,、International Mathematics Research Notices等綜合期刊發(fā)表SCI論文10余篇,。
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