北理工大學(xué)在Stokes流體研究方面取得重要進(jìn)展
發(fā)布日期：2021-05-12 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
編輯：陶思遠(yuǎn) 審核：田玉斌 閱讀次數(shù)：
在Stokes流體方程中有一個(gè)長(zhǎng)期懸而未解的數(shù)學(xué)問(wèn)題---流體的Kac問(wèn)題：能否通過(guò)測(cè)量Stokes流體振動(dòng)時(shí)發(fā)出的頻率就能夠判斷出這片流域的體積和表面積？通俗地說(shuō)：希望能通過(guò)測(cè)量一片流域的“波濤聲調(diào)”來(lái)判斷這片流域的大小。日前，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院劉跟前教授在線發(fā)表于國(guó)際權(quán)威數(shù)學(xué)期刊《Mathematische Annalen》上的一篇論文《The geometric invariants for the spectrum of the Stokes operator》對(duì)這一問(wèn)題給予了肯定的回答，從而徹底地解決了這個(gè)著名的流體Kac問(wèn)題。
劉跟前教授用了偏微分方程、微分幾何、擬微分算子理論、奇異格林算子以及譜幾何理論的方法創(chuàng)造性地給出如下重要的譜漸近公式:
.
這里
是Stokes流的粘性常數(shù),
是Stokes算子的Dirichlet特征值，
是Stokes流的體積，
是Stokes流的表面積。而
是相應(yīng)于的特征向量，亦即
這個(gè)公式表明：知道了Stokes流的所有振動(dòng)頻率，就可以通過(guò)它計(jì)算出流體的體積和表面積。由此徹底地解決了流體Kac問(wèn)題。這個(gè)公式也建立了（物理）頻譜量和（數(shù)學(xué)）幾何量之間的緊密聯(lián)系。另一方面，這一公式具有重要實(shí)用價(jià)值。例如，在航海、石油及水資源探測(cè)、軍事等領(lǐng)域可以應(yīng)用這一公式測(cè)量流域的大小。
該論文長(zhǎng)達(dá)48頁(yè)，從投稿、專家審稿到被該雜志接受長(zhǎng)達(dá)四年時(shí)間，兩位審稿人對(duì)劉跟前教授的論文給予了高度評(píng)價(jià)，一致認(rèn)為該論文是“very interesting and actual”.
論文鏈接：
https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-021-02167-worhttps://doi.org/10.1007/s00208-021-02167-wor as a PDF here
https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00208-021-02167-w.pdf.
作者簡(jiǎn)介：
劉跟前，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授、博導(dǎo)，長(zhǎng)期從事偏微分方程、幾何分析、譜幾何和反問(wèn)題等領(lǐng)域的研究，在《Advances in Mathematics》等國(guó)際數(shù)學(xué)權(quán)威期刊發(fā)表一系列重要論文，解決了若干長(zhǎng)期懸而未解的公開(kāi)問(wèn)題，其中包括解決了雙調(diào)和Steklov特征值的Weyl律、雙曲空間上高階Sobolev不等式、彈性特征值的Avramidi等問(wèn)題。
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