北理工課題組在光場調(diào)控和高容量拓?fù)渚幋a研究方面取得重要進(jìn)展
發(fā)布日期：2022-05-18 供稿：物理學(xué)院
編輯：王莉蓉 審核：姜艷 閱讀次數(shù)：
日前，北京理工大學(xué)物理學(xué)院張向東教授課題組和西北工業(yè)大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院的趙建林教授課題組合作，在基于嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)高容量拓?fù)渚幋a研究方面取得重要進(jìn)展。相關(guān)研究成果發(fā)表在近期的Nature Communications上，研究工作得到了國家自然科學(xué)基金委和國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃的資助。北京理工大學(xué)物理學(xué)院孔令軍研究員，張蔚暄博士(現(xiàn)集成電路與電子學(xué)院特立博士后)和西北工業(yè)大學(xué)的李鵬副教授為論文的共同第一作者。
扭結(jié)，是生活中普遍存在的現(xiàn)象。比如，打結(jié)的鞋帶、用于捆綁物體的繩索結(jié)、中國結(jié)、蝴蝶扣等都可看作是扭結(jié)結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)語言中，紐結(jié)理論是拓?fù)鋵W(xué)的一個分支。它研究的是一個或若干個閉合曲線在三維歐幾里得空間中的嵌入方式。拓?fù)鋵W(xué)中，在不斷開構(gòu)成扭結(jié)的閉合曲線的約束下，如果兩個扭結(jié)可以通過閉合曲線的連續(xù)形變互相轉(zhuǎn)化，那么這兩個扭結(jié)就是拓?fù)涞葍r(jià)的。扭結(jié)的拓?fù)涮匦钥梢杂孟鄳?yīng)的拓?fù)洳蛔兞縼砻枋觥Ｓ捎诩~結(jié)結(jié)構(gòu)具有獨(dú)特的拓?fù)浞€(wěn)定性，它在日常生活以及物理學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域的研究中都扮演著重要的角色。
人們對扭結(jié)結(jié)構(gòu)的使用也有著悠久的歷史。最早可以追溯到遠(yuǎn)古的結(jié)繩紀(jì)事，它是人類用于記錄信息的原始工具之一。利用數(shù)學(xué)語言來研究紐結(jié)是德國數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里希·高斯最早提出的。十九世紀(jì)末，拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生使得紐結(jié)理論成為熱點(diǎn)研究課題。目前，科學(xué)家在等離子體、量子與經(jīng)典流體、量子與經(jīng)典場論、液晶、聲波等多種體系中都實(shí)現(xiàn)了不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的紐結(jié)。在電磁場系統(tǒng)中，由相位渦旋或偏振奇點(diǎn)構(gòu)成的全光紐結(jié)也在實(shí)驗(yàn)上得到了驗(yàn)證。近期的研究表明，利用偏振光學(xué)紐結(jié)可以實(shí)現(xiàn)魯棒的拓?fù)淙饩幋a。然而，目前所使用的紐結(jié)結(jié)構(gòu)中只包含了少量的拓?fù)洳蛔兞俊Ｒ虼耍谌饧~結(jié)的拓?fù)渚幋a的信息容量仍然十分有限。如何提高拓?fù)渚幋a的信息容量亟待進(jìn)一步地研究。
研究亮點(diǎn)之一：嵌套紐結(jié)概念的提出和紐結(jié)理論的拓展
首先，研究人員理論設(shè)計(jì)了具有多拓?fù)洳蛔兞康那短资郊~結(jié)結(jié)構(gòu)。圖1顯示了構(gòu)建嵌套式紐結(jié)的示意圖。其中，圖1a是該嵌套式紐結(jié)的辮子表示，它包含了由綠色、紅色和藍(lán)色標(biāo)記的三類不同層級的零點(diǎn)線。為了更清楚地顯示嵌套紐結(jié)的層級結(jié)構(gòu)，圖1b展示了起始端面的放大圖。從中我們可以看到，半徑為 r 1的第一代辮子由綠色、紅色和藍(lán)色標(biāo)記的三條第二帶辮子編織而成。同時(shí)，三條半徑為 r 2的第二代辮子是由半徑尺寸更小的第三代辮子編織而成。而半徑為 r 3的第三代辮子是由半徑為 r 4的第四代辮子編織而成。通過上述嵌套式的編織方式，最終具有分形幾何結(jié)構(gòu)的嵌套紐結(jié)可以被構(gòu)建出來。如圖1c所示，通過將圖1a中辮子的起始端平面和終點(diǎn)端平面收尾相連，可以實(shí)現(xiàn)由四代辮子組成的嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)。由于這一新型的紐結(jié)結(jié)構(gòu)具有分形式的嵌套結(jié)構(gòu)，研究者稱其為嵌套紐結(jié)(nested knots)。嵌套紐結(jié)這一概念的提出，是對紐結(jié)理論的拓展。
下面給出了嵌套紐結(jié)的簡要數(shù)學(xué)描述。需要強(qiáng)調(diào)的是：嵌套紐結(jié)的每一條零點(diǎn)線都需要其所隸屬的不同層級辮子的坐標(biāo)來整體表示。因此，需要用一組向量來標(biāo)記每條零點(diǎn)線的位置。具體來講，第 i 代辮子的每條零點(diǎn)線的坐標(biāo)包含了其所隸屬的第1到第 i 代辮子的標(biāo)號，即
到
。這樣第 i 帶辮子的每條零點(diǎn)線都可以用長度為 i 的向量
來標(biāo)記。在辮子表象坐標(biāo)系
中，向量
所對應(yīng)的第 i 代辮子的零點(diǎn)線可以表示為：
上式中的
表示向量
所對應(yīng)的零點(diǎn)線的初始旋轉(zhuǎn)角度。
被命名為相應(yīng)零點(diǎn)線的繞數(shù)，代表該零點(diǎn)線以其所隸屬的第 l 代辮子的中心軸為參考的環(huán)繞圈數(shù)。由于該環(huán)繞數(shù)不依賴于線條的具體形狀，只由全局環(huán)繞的圈數(shù)決定。因此，繞數(shù)
對應(yīng)于向量
所標(biāo)記的零點(diǎn)線的拓?fù)洳蛔兞俊?/p>
圖1. 嵌套紐結(jié)理論設(shè)計(jì)示意圖。
研究亮點(diǎn)之二：高容量拓?fù)渚幋a的實(shí)現(xiàn)
正如圖1a所示，這種新型的嵌套紐結(jié)所對應(yīng)的辮子結(jié)構(gòu)可以包含不同層級的多條零點(diǎn)線。而每一條零點(diǎn)線都蘊(yùn)含著一個拓?fù)洳蛔兞?-----繞數(shù)
。研究人員使用這些拓?fù)洳蛔兞孔鳛樾畔⒌妮d體，設(shè)計(jì)了具有高容量的拓?fù)渚幋a方案，如圖2a所示。首先，信息的發(fā)送者Alice把她要發(fā)送的信息轉(zhuǎn)換為一組繞數(shù)
，并計(jì)算繞數(shù)的總和
。然后，Alice選擇一個正整數(shù) α 和一個素?cái)?shù)組
，并用下列等式計(jì)算 β
同時(shí)，生成一個嵌套結(jié)構(gòu)Nk，并使得Nk中所包含的繞數(shù)的集合正好是
。Alice將( α, β )和Nk實(shí)時(shí)發(fā)送給信息的接收者Bob。Bob收到這些數(shù)據(jù)后，先根據(jù)
算出
；然后，通過素?cái)?shù)分解得到繞數(shù)
，并進(jìn)一步獲得Alice要發(fā)送的信息。
該拓?fù)渚幋a方案的容量正比于嵌套紐結(jié)中所包含的拓?fù)洳蛔兞康臄?shù)目。拓?fù)洳蛔兞康臄?shù)量與該嵌套紐結(jié)所包含的辮子結(jié)構(gòu)的代數(shù)的關(guān)系顯示在圖2b中。當(dāng)嵌套紐結(jié)包含10代辮子，且每一代中的每一條辮子包含10條零點(diǎn)線時(shí)，該嵌套紐結(jié)將蘊(yùn)含有1.11×1010個拓?fù)洳蛔兞俊?/p>
圖2. 基于嵌套紐結(jié)的高容量拓?fù)渚幋a。
研究亮點(diǎn)之三：基于介質(zhì)超表面全光嵌套紐結(jié)產(chǎn)生
進(jìn)一步，研究人員在實(shí)驗(yàn)上對全光嵌套紐結(jié)進(jìn)行了驗(yàn)證。相比于傳統(tǒng)的紐結(jié)結(jié)構(gòu)，嵌套紐結(jié)的空間構(gòu)型更加復(fù)雜。因此，在單一波長下構(gòu)造嵌套紐結(jié)變得十分困難。為了解決這一問題，研究人員引入了波長自由度，通過對三個波長的電磁波進(jìn)行操控實(shí)現(xiàn)了全光嵌套紐結(jié)。然而傳統(tǒng)的光學(xué)器件很難實(shí)現(xiàn)對多波長的獨(dú)立操控。為了解決這一難題，研究人員設(shè)計(jì)了超表面全息圖(如圖3所示)，對三個頻率的電磁場相位奇點(diǎn)進(jìn)行了精確的調(diào)控，在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了全光嵌套紐結(jié)。圖4a-4c為含有一代辮子的嵌套紐結(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果；圖4d-4f為相應(yīng)的理論結(jié)果。圖4g,4h為包含有兩代辮子的嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果；圖4i,4j為相應(yīng)的理論結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果一致，驗(yàn)證了基于嵌套紐結(jié)的高容量拓?fù)渚幋a的可行性。未來通過引入更多頻率的電磁場以及不同的偏振自由度，可以實(shí)現(xiàn)具有更多代辮子編織而成的嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)。從而為設(shè)計(jì)全光、高容量、魯棒的編碼方案提供有價(jià)值的參考。
圖3. 用于生成光學(xué)嵌套紐結(jié)的超表面全息設(shè)計(jì)。
圖4. 光學(xué)嵌套紐結(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模擬結(jié)果。
論文鏈接為：https://www.nature.com/articles/s41467-022-30381-w。
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