北京理工大學課題組在拓撲物態(tài)研究方面取得重要進展
發(fā)布日期：2023-02-27 供稿：物理學院 攝影：物理學院
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日前，北京理工大學物理學院張向東教授課題組和集成電路與電子學院孫厚軍教授課題組合作，在非歐幾何拓撲態(tài)和拓撲電路研究方面取得重要進展。相關(guān)工作在Nature Communications上發(fā)表[Nat Commun (2023) 14:1083]。北京理工大學物理學院張蔚暄研究員和2022級博士生邸鳳瀟為論文的共同第一作者，張向東教授為通訊作者。研究工作得到了國家自然科學基金委和國家重點研發(fā)計劃的資助。
拓撲能帶理論為描述量子和經(jīng)典系統(tǒng)的拓撲屬性提供了統(tǒng)一的理論框架。最典型的例子是定義在二維動量空間的陳數(shù)(Chern number)，其是量子霍爾效應(yīng)、量子反常霍爾態(tài)，外爾半金屬Weyl等拓撲物態(tài)的衡量標準。另外，在2n維流形中定義的n階陳數(shù)，可以衡量高維空間的拓撲物態(tài)。如具有非平庸二階陳數(shù)的四維量子霍爾態(tài)和五維楊單極子。除了陳數(shù)以外，拓撲能帶理論還在非厄米、非阿貝爾以及高階拓撲等系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。迄今為止，拓撲能帶理論主要是基于歐幾里德空間的布洛赫定理構(gòu)建的，其位置和動量空間具有一致的維度。如何在非歐幾里得空間中構(gòu)造拓撲能帶理論，揭示非歐幾里得空間的體-邊對應(yīng)關(guān)系，是有待解決的重要問題。
近期，具有常數(shù)負曲率的雙曲晶格模型引起了人們廣泛的關(guān)注。研究人員利用共面波導諧振器[Nature 571, 45 (2019)]和人工經(jīng)典電路[Nat. Commun. 13, 4373 (2022)]實現(xiàn)了對雙曲晶格的有效模擬。隨后在雙曲晶格系統(tǒng)中，邊界統(tǒng)治的量子反常霍爾態(tài)和高階拓撲角態(tài)也被發(fā)現(xiàn)并在拓撲電路平臺被實現(xiàn)[Nat. Commun. 13, 2937 (2022)]。由于缺乏空間平移對稱性，雙曲拓撲態(tài)無法利用動量空間定義的拓撲不變量來衡量，其只能通過位置空間的拓撲不變量來描述。
雙曲能帶理論的提出，為構(gòu)建非歐幾里得空間的拓撲能帶理論帶來了曙光[Sci. Adv. 7, eabe9170 (2021)]。研究人員發(fā)現(xiàn)多種類型的雙曲晶格滿足Fuchsian平移對稱群。該對稱群是非阿貝爾平移群，具有一維和高維的群表示。有趣的是，人們發(fā)現(xiàn)通過設(shè)計有限尺寸雙曲晶格的周期性邊界條件，系統(tǒng)高維群表示所對應(yīng)的本征態(tài)可以完全消失，使其可以被U(1)雙曲能帶理論精確描述[Proc. Natl Acad. Sci. USA 119, e2116869119 (2022)]。另外，由于Fuchsian平移對稱群的非阿貝爾特性，二維雙曲晶格的動量空間是高維環(huán)曲面，其與高維歐幾里得空間的動量空間相對應(yīng)。這一新奇的性質(zhì)引發(fā)重要的問題：能否在二維雙曲晶格系統(tǒng)中，構(gòu)建具有高階拓撲不變量的雙曲拓撲態(tài)？在實驗上又該如何觀察具有高階拓撲不變量的新奇雙曲拓撲態(tài)？
研究亮點之一：理論構(gòu)建具有二階陳數(shù)的雙曲能帶拓撲態(tài)
研究人員考慮具有{8,8}布拉維晶格的雙曲模型，其具有四維動量空間的性質(zhì)，如圖1a所示。原包內(nèi)部的四個子格點具有不同的在位能。沿著四個動量方向的包間耦合顯示在圖1b中。圖1c-1e展示了不同在位能下，雙曲晶格模型的能帶結(jié)構(gòu)(k1=k4=0)和拓撲不變量。可以看到通過調(diào)節(jié)在位能的大小，雙曲能帶從半金屬態(tài)(圖1c)過渡到具有非零二階陳數(shù)(圖1d)和非零陳數(shù)(圖1e)的雙曲拓撲態(tài)。
圖1 具有非平庸二階陳數(shù)的雙曲晶格模型
為了研究非平庸雙曲晶格的邊界態(tài)，研究人員構(gòu)建了具有12個原包的有限雙曲模型。12個原包的具體位置在圖1a被字母標記(‘a(chǎn)’到‘l’)。圖2a和2b顯示的是利用直接對角化和雙曲能帶理論計算的有限周期雙曲晶格的本征能譜。可以看到兩者完全吻合，證明了雙曲能帶理論的有效性。具有非平庸二階(圖2a)和一階(圖2b)陳數(shù)的拓撲帶隙用橘黃色的區(qū)域標記出來，而藍色區(qū)域?qū)?yīng)平庸帶隙。圖2c和2d分別顯示了具有非平庸二階和一階陳數(shù)的有限雙曲周期晶格的體模式分布圖。為了觀察雙曲拓撲誘導的邊界態(tài)，研究人員進一步構(gòu)建了具有部分周期邊界條件的雙曲晶格模型，其本征能譜顯示在圖2e和2f中。可以清楚的看到，具有非零二階(圖2e)和一階(圖2f)陳數(shù)的帶隙中出現(xiàn)了邊界局域態(tài)，而平庸帶隙中沒有邊界態(tài)產(chǎn)生。二階和一階陳數(shù)誘導的邊界態(tài)空間分布顯示在圖2g和2e中。上述結(jié)果清晰的顯示，具有非平庸二階(和一階)陳數(shù)的雙曲帶隙中存在雙曲拓撲邊界態(tài)。
圖2 具有12個原包的有限尺寸雙曲拓撲模型
研究亮點之二：基于拓撲電路觀察具有二階陳數(shù)的雙曲能帶拓撲態(tài)
基于凝聚態(tài)晶格模型與電子線路網(wǎng)絡(luò)的一致性，研究人員設(shè)計并制備了雙曲電路網(wǎng)絡(luò)(如圖3a所示)實驗上觀察二階陳數(shù)誘導的雙曲拓撲邊界態(tài)。圖3b顯示了對應(yīng)于有效復數(shù)耦合的電路結(jié)構(gòu)圖。需要強調(diào)的是，與之前的平面雙曲電路不同，具有周期邊界的有限尺寸雙曲晶格具有大量的非面內(nèi)長程耦合。首先，研究人員對具有周期邊界的有限雙曲電路進行了實驗測量。圖3c和3d顯示了實驗測得的電路本征能譜，其中非平庸和平庸的帶隙分別被橘黃色和藍色區(qū)域標記。可以清晰的看到具有二階和一階陳數(shù)的雙曲電路頻譜與晶格模型能譜具有很好的一致性。圖3e和3f以及3g和3h分別對應(yīng)實驗測量和理論仿真的電路阻抗結(jié)果。結(jié)果顯示對應(yīng)能隙的頻率范圍沒有阻抗峰，表明雙曲體帶帶隙的存在。圖3i(二階陳數(shù))和3j(一階陳數(shù))展示的是體態(tài)對應(yīng)頻率下的電路阻抗分布圖。可以看出其與雙曲晶格模型中的本征態(tài)概率幅分布完全一致。
圖3 具有周期邊界條件的有限雙曲電路實驗結(jié)果
進一步，研究人員對具有部分開邊界的雙曲電路樣品進行了實驗測量。圖4a和4d以及4b和4e分別對應(yīng)實驗測量和理論仿真的電路阻抗結(jié)果。可以看到雙曲電路的邊界格點在具有非零二階(圖4a和4b)以及一階(圖4d和4e)陳數(shù)的帶隙區(qū)域具有顯著的阻抗響應(yīng)，而在平庸帶隙沒有阻抗峰值。圖4c和4f進一步顯示了邊界態(tài)所對應(yīng)頻率下的電路阻抗分布圖。可以清楚的看到，具有非零二階和一階陳數(shù)的雙曲拓撲帶隙中存在邊界態(tài)，其空間分布與理論模型完全一致。
圖4 具有部分周期邊界條件的有限雙曲電路實驗結(jié)果
該工作揭示了二維雙曲晶格中，具有定義在四維動量空間的二階陳數(shù)誘導的新奇雙曲拓撲態(tài)。與先前基于二維拓撲泵浦和非局部電路連接來實現(xiàn)四維量子霍爾效應(yīng)的實驗不同，該工作動量空間的維度擴展完全源于負曲率空間Fuchsian平移群的非阿貝爾特性。另外，基于其它四維拓撲態(tài)的哈密頓量來反向設(shè)計二維雙曲晶格模型，可以理論揭示更多新奇的雙曲物態(tài)。更高維度的動量空間(例如{12,12}和{16,16}對應(yīng)于六維和八維動量空間)也可以在二維雙曲晶格被實現(xiàn)，其為探索高維度能帶拓撲態(tài)提供了新的途徑。
論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s41467-023-36767-8
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